Lógica Matemática
resumo de aula especial - Instituto Packter
O Túnel Seikan, o maior do mundo, com 23,3 km de comprimento escavado no leito do mar sob o Estreito Tsugaru entre Hokkaido e Honshu. Ele se estende por 53,9 quilômetros. A primeira pesquisa geológica do estreito começou em 1946. A construção foi dificultada pela necessidade de escavação do leito do mar, por correntes marinhas e por problemas semelhantes encontrados com freqüência. Um exemplo do uso da Lógica Matemática.
Começamos com uma ilustração retirada do livro Jogos, Conjunto e Matemática, de Ian Stewart:
Falacioso ou Osoicalaf?
Era uma manhã fria de Inverno na Logicolândia. Batatinha e Batatão, os terríveis gémeos, estavam calorosamente empenhados num debate lógico. Por outras palavras, discutiam...
Como, aliás já era habitual.
-Só um elefante ou uma baleia dão à luz uma criatura com mais de 100 Kg - dizia Batatão. - Certo ?
-Suponho que sim - respondia Batatinha.
-O presidente pesa 101 Kg - disse o Batatão.
-Hi ! Hi ! - Riu-se Batatinha. - Estou mesmo a ver onde queres chegar e eu não..
- Portanto ... - Continuou Batatão.
- A mãe do presidente ou é um elefante ou é uma baleia ! - gritaram ambos em coro.
-Isso é falacioso! - gritou Batatinha.
-O que é falacioso ?
-Um argumento falacioso é um argumeno aparentemente convincente que é falso de um ponto de vista lógico - explicou Batatinha. - Espanta-me que não saibas...
-É claro que sei o que quer dizer falacioso! O que perguntei foi qual era o passo da minha dedução que era falacioso.
-O primeiro. Não, o segundo. Não, são ambos correctos, mas esqueceste-te de que ...
-Vês ? Não é completamente falacioso! É osoicalaf !
-O que é osoicalaf ?
-A minha dedução lógica acerca do ...
-Não, Tatão ! Eu sei que estás a falar da tua dedução. O que perguntei foi que diabo quer dizer osoicalaf ?
-Um osoicalaf - explicou Batatão - é um argumento aparentemente falso que é correcto de um ponto de vista lógico.
-O teu argumento não é osoicalaf ! É falacioso !
-Isso é que não é !
-Ai isso é que é !
Continuaram assim durante um bocado. Não há nada como uma boa discussão lógica. E a deles nada tinha a ver com uma boa discussão lógica.
Na Logicolândia são todos lógicos ou matemáticos. É um sítio engraçado. É que para produzir matemática é necessário ser-se bom em Lógica. De facto, a investigação matemática é a arte de distinguir o que é falacioso do que é osoicalaf.
...
A propósito dos debates lógicos do Batatinha e do Batatão, deixamos aqui uma das suas discussões em aberto para quem se quiser debruçar sobre ela.
Batatão, dirigindo-se ao Batatinha disse:
-Pega na série 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1 ...
Com os parêntesis distribuidos deste modo: (1-1)+(1-1)+(1-1)... a soma será 0. Todavia, com os parêntesis assim: 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+... a soma será 1.
Logo, 1=0.
Falacioso ou osoicalaf ???
Agora, vamos a uma síntese sobre Lógica Matemática. Os textos a seguir foram coligidos a partir de enciclopédias, entrevistas, resumos. Nosso objetivo é fornecer ao aluno uma visão de conjunto.
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Armários navais, exemplo de utilização da Lógica Matemática em aço inox.
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Por força do pensamento de Aristóteles, até quase o século XIX a Lógica era restrita à linguagem verbal. Ainda hoje, em muitos casos, isso ainda ocorre. Aos poucos a Lógica se mistura à vida, como no texto ilustrativo de Ruy Castro:
"No começo do jogo, depois da saraivada inicial de dribles, os russos ainda pensaram que fosse um problema de marcação. Começaram a gritar e a discutir entre si. Mas, se acertaram a marcação, não se ficou sabendo, porque Garrincha continuou a driblá-los do mesmo jeito. Os russos apelaram para a violência, mas apenas uma vez o acertaram feio.
Houve um lance em que, depois de fazer um russo cair, Garrincha pôs o pé sobre a bola e, de costas para o adversário, estendeu-lhe a mão para que se levantasse. E seguiu com a jogada, como se fosse a coisa mais natural do mundo.
No Rio, grudado ao rádio, com lágrimas nos olhos, o botafoguense Paulo Mendes Campos, que sempre considerara Garrincha um deus entre os mortais, via enfim que sua fé não fora um delírio: Garrincha era a prova de que ‘a mágica pode ganhar da lógica’.
O Brasil faria apenas mais um gol, também de Vavá, aos 31 minutos do segundo tempo. Mas parecia a maior goleada da história das Copas do Mundo. Em nenhum momento a URSS ameaçara — Gilmar fez somente uma defesa no jogo. Do outro lado, no entanto, Iashin evitou uma catástrofe numérica. O Brasil atacou 36 vezes, dezoito das quais com perigo e ainda disparou aquelas duas bolas na trave. Garrincha nascia ali, não apenas para o mundo, mas para o próprio Brasil.
A partir daquele dia, deixaram de existir botafoguenses, tricolores, rubro-negros, gremistas ou corintianos puros. Todos passariam a ser Garrincha, mesmo quando ele jogasse contra seus clubes.
No vestiário, depois do jogo contra a URSS, Garrincha não sabia quem o havia marcado. E por que deveria saber? Não tinha sido marcado por um, mas por muitos, e todos tinham aqueles nomes terminados em ev ou ov. De que lhe interessava? Sua única frase, que resumia tudo o que sentia, era: ‘Eu tava com fome de bola.’"
CASTRO, Ruy. Estrela Solitária. São Paulo, Cia. das Letras, 1996, pág. 165
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Os reatores de aviões incluem o uso da Lógica Matemática.
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No final do século XIX, Gottlob Frege (1848-1925) trabalha uma lógica calcada em símbolos matemáticos e na análise formal do discurso: nascia a lógica moderna, a formalização dos raciocínios, uma gramática, que pode ser empregada em diversas linguagens, como a proposicional, que estuda a relação dos juízos entre si, e a de predicados, que analisa a estrutura interna das sentenças. Como a matemática, ambas se utilizam de símbolos lógicos (de negação, conjunção e implicação, por exemplo) e não-lógicos (que representam proposições, funções, relações etc.) para criar cálculos ou sistemas de dedução.
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Antes disso, muitos indícios mostravam que a Lógica carecia de desenvolvimentos. Um exemplo ocorre com o matemático e filósofo G.W. Leibniz (1646-1716). Ele critica a lógica aristotélica por demonstrar verdades conhecidas, mas não revelar novas verdades. Além disso, a lógica tradicional sistematiza apenas juízos do tipo sujeito e predicado, como "Sócrates é mortal". Já os modernos sentem necessidade de um método capaz de estudar também relações entre objetos, como "A Terra é maior do que a Lua".
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Texto para refletir: relações entre a poesia e a matemática são possíveis?
“(Ferreira Gular fala de sua conversa com João Cabral de Melo Neto) Eu estava conversando com ele, em Barcelona, em 1968, e ele me perguntou por que é que eu tinha rompido com o concretismo.
Disse-lhe que foi porque o pessoal inventou que a poesia tinha que ser feita segundo estruturas matemáticas e eu achava isso uma bobagem. Aí ele me disse: Não, mas pode ser feita, sim. Por exemplo: a Educação pela Pedra’ que eu fiz é tudo dois. O ritmo é de dois em dois, os versos são dois em dois, o conjunto do poema é dois, é tudo dois. Então eu perguntei: Mas esse dois veio de onde? O que é que determinou esse dois? Não podia ser três? quatro? E ele disse que podia. Então essa estrutura matemática aí está curada. Você não pode criar uma estrutura a partir da qual nasça necessariamente a linguagem. Você pode, isso sim, criar uma estrutura e justapor a ela a linguagem, mas isso é arbitrário. A verdade da poesia é a verdade que comove. Quando Newton diz que matéria atrai matéria na razão direta das massas, isso é uma verdade científica que pode ser aferida. Agora, quando Hegel diz que o concreto é a soma de todas as determinações, isso é uma verdade filosófica que não pode ser aferida como a da ciência. Mas quando Drummond diz: como aqueles primitivos que carregam consigo o maxilar inferior dos seus mortos e eu te carrego comigo tardes de maio, não é verdade, mas é bonito demais, não é? Se você for aferir no nível da verdade, essa frase não vale nada. O que é que sustenta essa frase? É que ela comove. Esse é o conteúdo da poesia. Quando alguém quer transformar a poesia numa coisa racionalista, objetivista, dá com os burros n’água, e castra. Se você elimina do homem o direito de se comover e dizer sua emoção, você pode até adoecer as pessoas. Se numa sociedade se proibisse a expressão da emoção - e às vezes, se proíbe, não diretamente, mas pela imposição de uma censura violenta - se criaria uma enfermidade social, impedindo não só a manifestação da emoção lírica como a da revolta, do protesto.”
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Definição de Lógica Matemática:
O conjunto de estudos que visam a expressar em signos matemáticos as estruturas e operações do pensamento, deduzindo-as de um pequeno número de axiomas, com o propósito de criar uma linguagem rigorosa, adequada ao pensamento científico, da qual estejam afastadas as ambigüidades próprias da linguagem comum. Fundamenta-se na construção de sistemas formais, ou seja, modelos, para cuja definição se enunciam certos axiomas (conceitos básicos) e métodos de dedução ou demonstração.
O que podemos afirmar do termo “Sistema”?
Foi proposto por Lao-tsé 500 anos antes da era cristã, ao dizer que "uma carroça é mais que a soma de suas partes", ou seja, que a relação entre os diversos elementos que formam a carroça faz com que ela tenha propriedades especiais e diferentes da soma das propriedades de cada um de seus componentes em separado. Aristóteles já assinalara um princípio de abstração ao descrever sistema como um conjunto de funções, características e atributos que podem ser definidos.
exemplo de sistema
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Boole
Em 1854, George Boole descobriu que os conectivos, ou operadores, propostos por Aristóteles para as proposições (do tipo "e", "ou", "não" etc.) seguiam regras similares às da soma e da multiplicação. Projetou, então, a chamada álgebra de Boole, que se baseia na lógica binária de "verdadeiro" e "falso" como alternativas para cada proposição.
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Cantor
Pouco depois, Georg Cantor criou a teoria dos conjuntos e suas operações. Definiu conjunto como a união de objetos que satisfazem propriedades exprimíveis, e conjunto de conjuntos como um novo conjunto que contém a si mesmo, sendo um de seus próprios elementos. Bertrand Russell detectou o paradoxo desse raciocínio e argumentou que um conjunto pertence à primeira categoria se não contém a si mesmo, e à segunda se contém a si mesmo como elemento. Assim, se o conjunto A tem como elementos os conjuntos da primeira categoria, não pode, por dedução, pertencer a nenhuma das duas categorias mencionadas, ainda que inicialmente se atribuísse uma categoria a cada conjunto.
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Vamos a uma ilustração curiosa retirada do livro Ah, apanhei-te!, de Martin Gardner:
O Paradoxo do Barbeiro
O famoso paradoxo do barbeiro foi inventado por Bertrand Russell.
Quem fará a barba ao barbeiro que tem na janela da loja uma placa a dizer: "Faço a barba a todos os homens da cidade que não se barbeiam sozinhos, e só a esses."
Explicação:
Se ele próprio se barbear, pertencerá ao grupo dos que se barbeiam sozinhos, como é obvio. Mas a placa diz expressamente que ele nunca faz a barba a ninguém pertencente a esse conjunto. Portanto, não pode barbear-se a si próprio. Se é outra pessoa a fazer a barba ao barbeiro, então ele é um homem que não se barbeia sozinho. Mas a placa diz que ele faz a barba a todos os homens desta categoria. Assim, mais ninguém pode fazer a barba ao barbeiro. Parece mesmo que ninguém pode fazer-lhe a barba !
Bertrand Russell concebeu o paradoxo do barbeiro para explicar um outro paradoxo famoso que tinha descoberto relativo a conjuntos. Algumas construções parecem levar a conjuntos que deveriam ser membros deles próprios. Por exemplo, o conjunto de todas as coisas que não são maçãs não pode ser uma maçã; deste modo, tem de ser membro de si próprio. Considere então o conjunto de todos os conjuntos que não são membros deles mesmos. Será membro de si próprio? Qualquer que seja a resposta, será uma contradição.
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Ernst Zermelo formulou em 1904 um axioma de escolha sobre conjuntos não-vazios, isto é, que contêm elementos. Numa família de conjuntos não-vazios, qualquer que seja seu tamanho, pode-se escolher ao mesmo tempo um elemento de cada conjunto e considerar o conjunto A, que não podia pertencer a nenhuma categoria, como constituído desses elementos. Com esse axioma puderam ser demonstrados teoremas matemáticos clássicos carentes de lógica aparente, mas ao mesmo tempo começou a polêmica quanto à validade dos teoremas demonstrados com base nele, e a equiparação destes com aqueles que não necessitam desse axioma para sua demonstração. Enfim, tornou-se prática indicar se em determinado teorema havia sido usado ou não o axioma de escolha.
Para Kurt
Gödel, um sistema matemático que só fosse suficiente para a aritmética clássica
seria necessariamente incompleto. Acrescentou que qualquer sistema pode ser
coerente ao se lhe incorporar o axioma de escolha, e assim se mantém quando nele
se inclui a negação desse mesmo axioma. A hipótese de continuidade geral também
é coerente com a matemática comum, que mantém a coerência quando se lhe
acrescentam simultaneamente o axioma de escolha e a hipótese de continuidade
geral. Essa hipótese propõe uma explicação provável de um fato ou série de fatos
cuja verdadeira causa se desconhece.
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Sistemas e subsistemas lógicos.
No século XX, define-se sistema como um conjunto cujos elementos estão em interação e no qual prevalecem as relações recíprocas entre os elementos, e não os elementos em si. Por sua própria natureza, sistema é um conjunto de partes, o que significa que pode ser analisado. O conjunto como um todo, porém, não pode ser obtido pela simples acumulação das partes. A trama das relações entre os elementos constitui a estrutura do sistema, ou, o que é a mesma coisa, o mecanismo de articulação de suas partes.
As grandezas tomadas para descrever um sistema não são sempre as mesmas. Se uma delas se comporta de forma particular, deve ter propriedades que suscitam tal comportamento e dêem lugar a certas regras de organização. Os sistemas têm limites precisos, de modo que é possível determinar sem ambigüidades se um elemento pretence a um ou a outro sistema.
construções - utilização prática da Lógica Matemática
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Os sistemas fechados e abertos
Os sistemas classificam-se em fechados, se não permutam matéria com o exterior, mesmo que haja permuta de energia para chegar ao equilíbrio, e abertos, se podem permutar matéria e energia com o exterior e tendem à estabilidade. Os últimos se caracterizam por um comportamento não plenamente determinado por uma cadeia causal, nem por puro acaso. Os sistemas abertos tendem a se manter no estado em que melhor se adequam a possíveis perturbações. Essa tendência à estabilidade lhes permite alcançar um estado final característico a partir de estados iniciais distintos e caminhos diferentes. A atuação ou comportamento de cada subsistema ou componente de um sistema se difunde pelo sistema inteiro. Os sistemas são representados formalmente mediante modelos, e chama-se simulação a geração de possíveis estados do sistema pelo modelo que representa.
garrafa térmica
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Conceitos de lógica matemática.
O processo dedutivo matemático exige rigor. O modelo tradicional de um sistema consiste na apresentação das assertivas principais em forma de teoremas, como já o fizera Euclides na Grécia antiga. Formalmente, dá-se o nome de teorema a uma proposição cuja validade se prova por demonstração. Assim, os axiomas, que se definem como primeiros teoremas e se admitem sem demonstração, pertencem a uma categoria lógica diferente. Os teoremas se demonstram a partir de outros teoremas, mediante procedimentos de dedução ou indução nos quais se encadeiam conseqüências lógicas. A axiomática da matemática, e das ciências em geral, constitui o elemento básico para a dedução de teoremas derivados, e a escolha adequada dos axiomas é um dos pontos mais delicados na elaboração dos modelos de qualquer sistema. Um conjunto de axiomas é aceitável, do ponto de vista matemático, quando tem coerência lógica, o que implica que de um mesmo axioma não é possível deduzir dois teoremas contraditórios.
engrenagem: rigor e exatidão do axioma matemático na prática
Desenvolvendo certo raciocínio, conclui-se que, além dos axiomas, as próprias regras de dedução deveriam estar sujeitas a variações. Quando os axiomas e regras de dedução são abertos, fala-se de sistema matemático, ou formal, que exige que o sistema seja coerente uma vez estabelecido o método. Quando se pode demonstrar uma proposição ou sua negativa, o sistema é completo. Se um sistema que contém um teorema se altera, a mesma proposição, ou a que corresponde à nova entidade, passa a ser duvidosa ou inteiramente falsa. Mesmo que sua validade se mantenha, seria preciso uma nova demonstração, devido à possibilidade de que os axiomas ou as regras de dedução do sistema tenham perdido sua pertinência.
As regras básicas da lógica matemática exigem a formulação de enunciados, nos quais se definem previamente os conceitos da proposição, e predicados ou sentenças matemáticas que empregam os enunciados descritos anteriormente.
as cirurgias também observam o raciocínio matemático
A terminologia e a metodologia da lógica matemática tiveram, ao longo do século XX, importante papel no progresso das novas ciências da informática e cibernética. Desde as origens, elas adotaram as estruturas formais da lógica binária e da álgebra de Boole e empregaram a filosofia de enunciado-predicado em suas proposições, numa axiomática e num conjunto de regras hipotético-dedutivas definidas previamente.
exatidão na terminologia. A cabina de um cachambeque possui elementos, como a direção, com terminologia exata e própria: um exemplo seguido na Lógica Matemática ao precisar os termos e os métodos.
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Ou seja, a Lógica Matemática evita determinadas ambigüidades como a do exemplo a seguir retirado do livro de Gardner:
O Paradoxo de Dom Quixote
(à esquerda, ilustração de Portinari)
O romance Dom Quixote fala-nos de uma ilha onde vigora uma lei curiosa. Um guarda pergunta a cada visitante :
Guarda : Porque vem cá ?
Se o visitante responder a verdade, tudo bem. Se não, será enforcado.
Um dia um visitante respondeu o seguinte :
Visitante : Vim cá para ser enforcado!
Os guardas ficaram baralhados. Se não o enforcassem, ele teria mentido; portanto, deveria ser enforcado. Se, porém, o enforcassem, teria falado verdade e não deveria ser enforcado. Para resolverem a questão levaram o visitante ao governador da ilha. Este, depois de muito pensar, tomou uma decisão.
Governador : Seja qual for a minha decisão estou certo que violará a lei. Por isso, vou ser misericordioso e libertar o homem.
Explicação :
O paradoxo do enforcado aparece no capítulo 51 do segundo livro de Dom Quixote. Sancho Pança, o escudeiro de Dom Quixote, tornou-se governador de uma ilha e jurou respeitar a curiosa lei vigente sobre visitantes. Quando o homem lhe foi levado, decidiu o seu destino com misericórdia e senso comum.
O paradoxo, é obscurecido pela a ambiguidade da afirmação do visitante. Referir-se-á este à sua própria vontade ou estará a fazer uma previsão do que pensa que irá acontecer? No primeiro caso, o homem pode ter falado verdade acerca da sua intenção, e as autoridades nada poderão fazer-lhe, não havendo contradição. Por outro lado, tomando a sua afirmação no segundo sentido, seja o que for que as autoridades façam, será uma contradição e violarão a lei.